Chapitre 11 : Valeurs propres et vecteurs propres

1. Définition

Nous avons vu qu’une matrice $A$ qui multiplie un vecteur $\vec{x}$ est en réalité une application linéaire.

On s’intéresse maintenant au vecteur $\vec{x}$ dont l’image  $\vec{y}$ (par l’application) est linéairement dépendante de lui-même, à savoir :

Les $\lambda$ et $\vec{x}$ qui satisfont $(1)$ sont appelés respectivement valeurs propres et vecteurs propres.

Dans $(1)$ on a exclu $\boldsymbol{\vec{0}}$. On sait, en effet, que $\underbrace{A\,\vec{0}}_{ \vec{0} }= \underbrace{ \lambda\, \vec{0} }_{ \vec{0} } \,$ est vrai quel que soit $\lambda$.

2. Calcul

De $(1)$ on a :

$$\begin{equation} A\vec{x} = \lambda \vec{x} \iff A\vec{x}-\lambda \vec{x} = \vec{0} \iff (A -\lambda I)\,\vec{x} = \vec{0} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \iff \left[ \left( \begin{array}{} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n} \\ \phantom{1} \vdots & a_{i,i} & \phantom{1}\vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{n,n} \end{array} \right) - \left( \begin{array}{} \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \lambda & \vdots \\ 0 & \cdots & \lambda \end{array} \right) \right] \vec{x} = \vec{0} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \iff \left( \begin{array}{} a_{1,1} -\lambda & \phantom{11} \cdots & a_{1,n} \\ \phantom{-11} \vdots & a_{i,i}-\lambda & \phantom{11}\vdots \\ \smash{ \underbrace{ a_{n,1} \phantom{1-\lambda}}_{ \vec{C_1} }} & \smash{ \underbrace{ \phantom{11} \cdots \phantom{1 \lambda} }_{ \vec{C_i} }} & \smash{ \underbrace{a_{n,n}-\lambda \phantom{1} }_{ \vec{Cn} }} \end{array} \right) \left( \begin{array}{} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) = \vec{0} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \iff x_1 \vec{C_1} + \cdots + x_i \vec{C_i} + \cdots + x_n\vec{C_n} = \vec{0} \end{equation}$$

En $(5)$ on a décomposé la multiplication matrice par vecteur de $(4)$. Les colonnes $\vec{C_1}, \dots, \vec{C_n}$ doivent être linéairement dépendantes car les $x_i$ ne peuvent être nuls à cause de $(1)$. Ceci implique que leur déterminant est nul.

Une fois les $\lambda$ (valeurs propres) trouvées par le biais du déterminant on remplace leur valeur dans la matrice de $(4)$ pour trouver les vecteurs propres y relatifs.

Exemple I

Soit $h$ : $h \colon \, \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$, $ \vec{x} \mapsto \left( \begin{smallmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{smallmatrix} \right) \vec{x}$.
Calculons ses valeurs et vecteurs propres.

De $(4)$ on a :

$$\begin{equation} \left( \begin{array}{} 2-\lambda & 1 \\ 3 & 4-\lambda \end{array} \right) \vec{x} = \vec{0} \end{equation}$$

Les colonnes de la matrice de $(6)$ sont linéairement dépendantes, donc :

$$\begin{equation} \begin{split} \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 \\ 3 & 4 -\lambda \\ \end{vmatrix} & = (2-\lambda)(4 -\lambda) -3 \\ & =8 - 2\lambda - 4\lambda +\lambda^2 -3 \\ & = \lambda^2 - 6\lambda + 5 \\ & = (\lambda-1)(\lambda-5) \\ & = 0 \end{split} \end{equation}$$

On en conclut de $(7)$ : $\lambda_1 =1$ et $\lambda_2 =5$

Pour déterminer le vecteur propre $\vec{x}_1$ associé à $\lambda_1$, on remplace $\lambda_1$ dans $(6)$ :

$$\begin{equation} \left( \begin{array}{} 2-1 & 1 \\ 3 & 4-1 \end{array} \right) \vec{x}_1 = \vec{0} \iff \left( \begin{array}{} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{array} \right) \vec{x}_1 = \vec{0} \iff \left( \begin{array}{!{}l@{~} !{~}l | !{~}l@{}} 1 & 1 & 0 \\ 3 & 3 & 0 \end{array} \right) \iff \left( \begin{array}{!{}l@{~} !{~}l | !{~}l@{}} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$$

$ \iff 1x+1y = 0 \iff x=-y$.  On pose $x= \beta$.

Pour déterminer le vecteur propre $\vec{x}_2$ associé à $\lambda_2$, on remplace $\lambda_2$ dans $(6)$ :

$$\begin{equation} \left( \begin{array}{} 2-5 & 1 \\ 3 & 4-5 \end{array} \right) \vec{x}_2 = \vec{0} \iff \left( \begin{array}{} -3 & 1 \\ 3 & -1 \end{array} \right) \vec{x}_2 = \vec{0} \iff \left( \begin{array}{!{}l@{~} !{~}l | !{~}l@{}} -3 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & 0 \end{array} \right) \iff \left( \begin{array}{!{}l@{~} !{~}l | !{~}l@{}} -3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \end{equation}$$

$ \iff -3x+1y = 0 \iff y=3x \iff x=\frac{y}{3}$.  On pose $x= \beta$.

3. Visualisation

Figure 11.1 : vecteur propre et vecteur ordinaire

La figure 11.1 illustre une forme avant et après transformation (en pointillé) par l’application de l’exemple I.

Un vecteur propre $\,\color{green}{\vec{x_1}}=\left(\begin{smallmatrix} -1 \\ -3 \end{smallmatrix}\right)$, ainsi qu’un vecteur ordinaire   $\color{navy}{\vec{x_2}}=\left(\begin{smallmatrix} 2 \\ 1 \end{smallmatrix}\right)$ sont également représentés. On peut voir que le vecteur propre ne subit pas de rotation par l’application.

En bref