studybyyourself » Chapitre 6 : Dépendance linéaire

1. Combinaison linéaire

Si un vecteur peut être exprimé par une combinaison linéaire d’autres vecteurs, on dit qu’ils sont linéairement dépendants.

Exemple I

Figure 6.1 : Trois vecteurs quelconques dans $\mathbb{R}^3$ appartenant au même plan sont linéairement dépendants (wikipedia)

Nous aimerions savoir si un vecteur de la Figure 6.1 peut être exprimé en fonction des autres, comme suit :

$\begin{equation} \vec{v_1} = \lambda{_2} \vec{v_2} + \lambda{_3} \vec{v_3} \end{equation}$

On a donc :

$\begin{equation} \underbrace{ \begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix}}_{\color{red}{\vec{v_1}}} = \lambda{_2} \underbrace{ \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 0 \end{pmatrix}}_{\color{orange}{\vec{v_2}}} + \lambda{_3} \underbrace{ \begin{pmatrix} -2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\color{green}{\vec{v_3}}} \end{equation}$

Factorisons la partie de droite de $(2)$ :

$\begin{pmatrix} 8 \\ -4 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \lambda{_2} \\ -4 \lambda{_2} \\ 0 \lambda{_2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -2 \lambda{_3} \\ 0 \lambda{_3} \\ 1 \lambda{_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \lambda{_2} + -2 \lambda{_3} \\ -4 \lambda{_2} + 0 \lambda{_3} \\ 0 \lambda{_2} + 1 \lambda{_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -2 \\ -4 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda{_2} \\ \lambda{_3} \end{pmatrix}$

Échelonnons maintenant la matrice augmentée comme vu au chapitre consacré:

$\left( \begin{array}{ c c| c} 2 & -2 & 8 \\ -4 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & -3 \end{array} \right) \overset{2R{_1}+R{_2}\rightarrow{R_2}}{\iff} \left( \begin{array}{ c c | c} 2 & -2 & 8 \\ 0 & -4 & 12 \\ 0 & 1 & -3 \end{array} \right) \overset{ 4R{_3}+R{_2}\rightarrow{R_3}}{\iff} \left( \begin{array}{c c | c} 2 & -2 & 8 \\ 0 & -4 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)$

De la forme échelonnée, on a :

$ -4\lambda_3 = 12 \iff$ $\lambda_3 = -3$

On remplace $\lambda_3$ dans la première ligne :

$2\lambda_2 + -2 \cdot \underbrace{-3}_{\lambda_3} = 8 \iff$ $\lambda_2 = 1$

La solution est donc :

$\begin{equation} \vec{\lambda} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} \end{equation}$

Par conséquent, n’importe quel vecteur $\vec{v_i} \in \{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\}$ s’exprime comme la combinaison des autres.

2. Généralisation

$(1)$ peut être réécrite en $(4)$ :

$\begin{equation} \vec{0} = -\vec{v_1} + \lambda{_2} \vec{v_2} + \lambda{_3} \vec{v_3} \end{equation}$

De manière plus générale, on a :

$\begin{equation} \vec{0} = \lambda{_1} \vec{v_1} + \lambda{_2} \vec{v_2} + \lambda{_3} \vec{v_3} \end{equation}$

Si l’équation $(5)$ a comme unique solution $\lambda{_1}=\lambda{_2}=\lambda{_3}=0$ alors on ne peut pas exprimer un des vecteurs comme étant la combinaison des autres. Sinon les vecteurs sont linéairement dépendants.

En bref

Si un vecteur peut être exprimé comme la combinaison d’autre(s) vecteur(s), on dit qu’ils sont linéairement dépendants. Par exemple :
$\left( \begin{smallmatrix} 2 \\ -1 \\ -1 \end{smallmatrix} \right) =
{\small -1} \left( \begin{smallmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{smallmatrix} \right) +
{\small -1} \left( \begin{smallmatrix} -3 \\ 2 \\ 1 \end{smallmatrix} \right)$.

Pour savoir si un vecteur $\vec{v_i} \in \{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \ldots{} ,\vec{v_n} \}$ peut être exprimé comme combinaison linéaire des autres, il faut résoudre l’équation :

$\vec{0} = \lambda{_1}\vec{v_1} + \lambda{_2}\vec{v_2} + \ldots{} + \lambda{_n}\vec{v_n}$

Si cette équation admet comme unique solution tous les $\lambda{_i}=0$, alors on ne peut pas exprimer un des $\vec{v_i}$ en fonction des autres. Les vecteurs sont alors linéairement indépendants.