studybyyourself » Chapitre 4 : Opérations sur matrice

La taille d’une matrice, notée $m \times n$, est le nombre de lignes, respectivement de colonnes que contient la matrice. On parle de matrice carrée si $m=n$. Les matrices de l’exemple II sont de taille $2 \times 3$.

1. Multiplication

On a vu dans le chapitre antérieur comment séparer les coefficients des variables et ainsi obtenir une matrice multipliant un vecteur. Ceci implique maintenant de définir cette multiplication.

Soient $A$ une matrice de taille $\, {\color{orangered}{m}} \times {\color{steelblue}{n}}$ et $B$ une matrice de taille $\, {\color{grey}{m’}} \times {\color{darkred}{n’}}$.

$AB=C$ est possible seulement si ${\color{steelblue}{n}}={\color{grey}{m’}}$. La matrice $C$, le produit, est de taille ${\color{orangered}{m}} \times {\color{darkred}{n’}}$.

La multiplication de $A$ par $B$ se fait en distribuant les lignes de $A$ sur chaque colonne de $B$ et en additionnant les produits, soit $(c_{i,j}) = \sum_{k=0}^{n} a_{i,k}\,b_{k,j}$.

Exemple I

$\begin{equation} \left(\begin{array}{cc} \class{matrix-el-bckgr}{\phantom{-}4\phantom{-}} & \class{matrix-el-bckgr}{\phantom{-}8\phantom{-}} \\ -1 & -2 \\ 6 & 0 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \class{matrix-el-bckgr}{ \phantom{-}0\phantom{-}} & 1 \\ \class{matrix-el-bckgr}{-7\phantom{-}} & -1 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} \class{matrix-el-bckgr}{ \phantom{-} 4 \cdot 0 + 8 \cdot -7 \phantom{-}} & 4 \cdot 1 + 8 \cdot -1 \\ -1 \cdot 0 + -2\cdot -7 & -1 \cdot 1 + -2 \cdot -1 \\ 6 \cdot 0 + 0 \cdot -7 & 6 \cdot 1 + 0 \cdot -1 \end{array} \right) = \left(\begin{array}{cc} \class{matrix-el-bckgr}{-56\phantom{-}} & -4 \\ 14 & 1 \\ 0 & 6 \end{array} \right) \end{equation}$

2. Addition

L’addition de deux matrices est possible si les matrices sont de même taille. On additionne les éléments correspondants. La soustraction se fait d’une manière analogue.

Exemple II

$\begin{equation} \left( \begin{array}{} {\color{mediumblue}{9}} & {\color{tomato}{2}} & {\color{grey}{-3}} \\ {\color{darkorange}{1}} & {\color{forestgreen}{12}} & {\color{indigo}{8}} \\ \end{array} \right) + \left( \begin{array}{} {\color{mediumblue}{7}} & {\color{tomato}{-10}} & {\color{grey}{-6}} \\ {\color{darkorange}{0}} & {\color{forestgreen}{-1}} & {\color{indigo}{0}} \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{} {\color{mediumblue}{16}} & {\color{tomato}{-8}} & {\color{grey}{-9}} \\ {\color{darkorange}{1}} & {\color{forestgreen}{11}} & {\color{indigo}{8}} \\ \end{array} \right) \end{equation}$

3. Multiplication par scalaire (nombre)

Le scalaire multiplie tous les éléments de la matrice.

Exemple III

$\begin{equation} \color{maroon}{-2} \left( \begin{array}{c c} -11 & 2 \\ -7 & -4 \\ 0 & -1 \\ \end{array} \right) = \begin{pmatrix} {\color{maroon}{-2}} \cdot-11 & {\color{maroon}{-2}} \cdot 2 \\ {\color{maroon}{-2}} \cdot -7\phantom{1} & {\color{maroon}{-2}} \cdot-4 \\ {\color{maroon}{-2}} \cdot \phantom{-}0\phantom{1} & {\color{maroon}{-2}} \cdot-1 \end{pmatrix} = \left( \begin{array}{c c} 22 & -4 \\ 14 & 8 \\ 0 & 2 \end{array} \right) \end{equation}$

4. Décomposition

Une matrice multipliant une matrice-colonne peut être décomposée en une addition de multiplications. Cela découle des règles précitées.

Exemple IV

$\begin{equation} \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 3 & 2 \\ 4 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda{_1} \\ \lambda{_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \lambda{_1} + -5 \lambda{_2} \\ 3 \lambda{_1} + 2 \lambda{_2} \\ 4 \lambda{_1} + -1 \lambda{_2} \end{pmatrix} = \lambda{_1} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \lambda{_2} \begin{pmatrix} -5 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \end{equation}$

En bref

Multiplication

$AB = C$ avec $A$ de taille $\,{\color{orangered}{m}} \times {\color{steelblue}{n}}$ et $B$ de taille $\, {\color{grey}{m’}} \times {\color{darkred}{n’}}$. La multiplication est possible seulement si ${\color{steelblue}{n}}={\color{grey}{m’}}$. La taille de $C$ est ${\color{orangered}{m}} \times {\color{darkred}{n’}}$.
$AB \ne BA$
soit $K=T$, la multiplication par $P$ à gauche donne $PK=PT$
soit $K=T$, la multiplication par $P$ à droite donne $KP=TP$

Addition

$A + B = (a_{i,j} + b_{i,j})$

Multiplication par un scalaire

$\lambda A= (\lambda a_{i,j})$

Distributivité

$A(B+C)=AB+AC$

Décomposition matrice multipliant matrice-colonne

$
\left(\begin{smallmatrix} v_{1} & \cdots & w_{1} \\ \vdots & \cdots & \vdots \\ v_n & \cdots & w_n \end{smallmatrix}\right)
\left(\begin{smallmatrix} \lambda_1 \\ \vdots \\ \lambda_n \end{smallmatrix}\right)
= \lambda_1 \left(\begin{smallmatrix} v_{1} \\ \vdots \\ v_n \end{smallmatrix}\right)
+ \cdots
+ \lambda_n \left(\begin{smallmatrix} w_{1} \\ \vdots \\ w_n \end{smallmatrix}\right)
$