Chapitre 2 : Équations linéaires

1. Equation linéaire

Une équation linéaire a la forme suivante :

$$a_1x_1 + a_2x_2 + \cdots + a_nx_n = b \tag{1}$$

Dans $(1)$, les $a_i$ sont appelés les coefficients et les $x_i$ sont appelés les variables (aussi appellés inconnues).

Exemple I

Est une équation linéaire:

$$\sqrt{2}x -\frac{3}{4} y = -12 \tag{2}$$

Exemple II

N’est pas une équation linéaire:

$$2x^3 + -5y = 1 \tag{3}$$

2. Système linéaire

Un système linéaire (ou système d’équations linéaires) comprend plusieurs équations linéaires qui sont liées entre-elles.

Il existe plusieurs méthodes pour résoudre de tels systèmes. Nous allons voir uniquement la résolution par addition dont le but est d’éliminer une variable en additionnant deux équations.

Exemple III

$$\left\{ \begin{array}{ r@{~}c@{~} r!{~} r r r r } 2x-4y & = & 2 & & & & (4) \\ x+2y & = & -7 & & & & (5) \\ \end{array} \right.$$

Pour éliminer une variable par l’addition des équations $(4)$ et $(5)$, on peut par exemple les multiplier respectivement par $1$ et $-2$. On obtient $(6)$ et $(7)$.

$$\begin{array}{ r r r c@{~} r@{~} } (6) & & & 2x-4y & = & 2 \\ (7) & & & -2x-4y & = & 14 \\ \hline (8) & & & -8y & = & 16 \\ \end{array}$$

De $(8)$ on trouve $y$ :

$ -8y = 16 \iff$ $y = -2$

On remplace $y$ dans n’importe quelle équation. Prenons la $(5)$ :

$ x +2\cdot \underbrace{-2}_{y} = -7 \iff x -4 = -7 \iff $ $x = -3$

Exemple IV

$$\left\{ \begin{array}{ r@{~} c@{~} r!{~} r r r r } -x-3y+z & = & 10 & & & & (9) \\ x+y-3z & = & -12 & & & & (10) \\ 3x+4y+2z & = & -5 & & & & (11) \\ \end{array} \right.$$

On élimine $x$ en multipliant $(9)$ par $1$ et $(10)$ par $1$, et on obtient $(12)$ et $(13)$ (ci-après à gauche). Encore une fois, on élimine $x$ en multipliant
$(10)$ par $-3$ et $(11)$ par $1$ et on obtient ($15$) et ($16$) (ci-après à droite).

On élimine $y$ en multipliant $(14)$ par $1$ et $(17)$ par $2$. On obtient $(18)$ et $(19)$.

$$\begin{array}{ r r r c@{~} r@{~} } (18) & & & -2y-2z & = & -2 \\ (19) & & & 2y+22z & = & 62 \\ \hline (20) & & & 20z & = & 60 \\ \end{array}$$

De $(20)$ on trouve $z$ :

$20z = 60 \iff$ $z=3$

On remplace $z$ dans n’importe quelle équation. Prenons la $(17)$ :

$ y + 11\cdot \underbrace{3}_{z} = 31 \iff y +33 = 31 \iff$ $y = -2$

On remplace $y$ et $z$ dans n’importe quelle équation. Prenons la $(10)$ :

$x + \underbrace{-2}_{y} -3\cdot \underbrace{3}_{z} = -12 \iff x + -11 = -12 \iff$ $x = -1$

Récapitulation