studybyyourself » Chapitre 1 : Introduction

1. But

L’algèbre linéaire a pour but de trouver la solution d’un système d’équations linéaires. Un système peut avoir une solution unique (système dit déterminé), une infinité de solutions (système dit indéterminé) ou aucune solution (système dit incompatible).

Elle a aussi pour objet les transformations géométriques telles que symétrie axiale, symétrie centrale, rotation, changement d’échelle, cisaillement, projection orthogonale.

2. Objets

En algèbre élémentaire, on effectue des opérations sur des nombres, e.g.:

$\begin{equation} 2x = 10 \iff x = 5 \end{equation}$

Comme nous allons le voir, en algèbre linéaire, on effectue des opérations sur des matrices et des vecteurs, e.g. :

$\begin{equation} \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\,\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \iff \vec{x} = \begin{pmatrix} -1 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{equation}$

En bref

En algèbre linéaire, on ne travaille plus sur des nombres, mais sur des matrices et des vecteurs qui constituent une généralisation des nombres.

En effet, dans $(2)$, le vecteur $\vec{x}$ a deux éléments. On peut ainsi voir les nombres comme des vecteurs qui ne sont composés que d’un seul élément.